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Primero llamamos $y=f(x)$ y luego intercambiamos $x$ y $y$:
• $Im f^{-1}= \mathbb{R}$
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Matemática 51
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
4.
Hallar la función inversa $f^{-1}$. Dar su dominio y su imagen.
e) $f(x)=2 e^{4-5 x}+3$
e) $f(x)=2 e^{4-5 x}+3$
Respuesta
Hallemos la función inversa:
$y = 2e^{4-5x} + 3$
$x = 2e^{4-5y} + 3$
Despejamos $y$:
$x = 2e^{4-5y} + 3$
$x - 3 = 2e^{4-5y}$
$\frac{x - 3}{2} = e^{4-5y}$
$\ln\left(\frac{x - 3}{2}\right) = 4 - 5y$
$5y = 4 - \ln\left(\frac{x - 3}{2}\right)$
$y = \frac{1}{5}(4 - \ln\left(\frac{x - 3}{2}\right))$
• $f^{-1}(x) = \frac{1}{5}(4 - \ln\left(\frac{x - 3}{2}\right))$
Hallemos el dominio de imagen de la función inversa:
Calculemos el dominio de$f^{-1}$:
$\frac{x - 3}{2}>0$
Acá nos plantean un único caso posible, ya que el denominador no tiene $x$, por lo tanto su signo está definido. Para que esa fracción sea positiva $(>0)$, como el denominador es positivo (pues vale 2), el numerador deberá tener el mismo signo, es decir, deberá ser también positivo.
Caso único:
$x-3 > 0$ y $2> 0$
$x >3$
Por lo tanto,
• $Dom f^{-1} = (3; +\infty)$
La imagen de $f^{-1}$ corresponde al dominio de $f$, que es $\mathbb{R}$. Por lo tanto,
• $Im f^{-1}= \mathbb{R}$