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Matemática 51

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 4 - Funciones exponenciales, logarítmicas y trigonómetricas

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4. Hallar la función inversa f−1f^{-1}. Dar su dominio y su imagen.
e) f(x)=2e4−5x+3f(x)=2 e^{4-5 x}+3

Respuesta

Hallemos la función inversa:

Primero llamamos y=f(x)y=f(x) y luego intercambiamos xx y yy:
y=2e4−5x+3y = 2e^{4-5x} + 3
x=2e4−5y+3x = 2e^{4-5y} + 3 Despejamos yy:

x=2e4−5y+3x = 2e^{4-5y} + 3
x−3=2e4−5yx - 3 = 2e^{4-5y}
x−32=e4−5y\frac{x - 3}{2} = e^{4-5y}
ln⁡(x−32)=4−5y\ln\left(\frac{x - 3}{2}\right) = 4 - 5y
5y=4−ln⁡(x−32)5y = 4 - \ln\left(\frac{x - 3}{2}\right)

y=15(4−ln⁡(x−32))y = \frac{1}{5}(4 - \ln\left(\frac{x - 3}{2}\right))
• f−1(x)=15(4−ln⁡(x−32))f^{-1}(x) = \frac{1}{5}(4 - \ln\left(\frac{x - 3}{2}\right))



Hallemos el dominio de imagen de la función inversa:
Calculemos el dominio def−1f^{-1}:

x−32>0\frac{x - 3}{2}>0

Acá nos plantean un único caso posible, ya que el denominador no tiene xx, por lo tanto su signo está definido. Para que esa fracción sea positiva (>0)(>0), como el denominador es positivo (pues vale 2), el numerador deberá tener el mismo signo, es decir, deberá ser también positivo.
 

Caso único:

x−3>0x-3 > 0 y 2>02> 0

x>3x >3 

Por lo tanto, 

• Domf−1=(3;+∞)Dom f^{-1} = (3; +\infty)


La imagen de f−1f^{-1} corresponde al dominio de ff, que es R\mathbb{R}. Por lo tanto,
 
• Imf−1=RIm f^{-1}= \mathbb{R}   
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